12. (16.3) Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 68°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Пусть касательные, проведенные в точках А и В, пересекаются в точке К. Тогда угол AKB = 68°. Так как OA и OB - радиусы, проведённые в точки касания, то углы OAK и OBK прямые, то есть $$\angle OAK = \angle OBK = 90^\circ$$. Четырёхугольник OAKB имеет сумму углов 360°. Следовательно, $$\angle AOB = 360^\circ - \angle OAK - \angle OBK - \angle AKB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 68^\circ = 112^\circ$$. Треугольник AOB - равнобедренный, так как OA = OB (радиусы). Значит, углы OAB и OBA равны. $$\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - \angle AOB}{2} = \frac{180^\circ - 112^\circ}{2} = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ$$. Таким образом, $$\angle ABO = 34^\circ$$. Ответ: 34