18.Окружность пересекает стороны АВ И АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР = 16, а сторона ВС в 1,6 раза меньше стороны AB. Ответ: 10.

Четырехугольник ВКРС вписан в окружность, следовательно, ∠ВКР + ∠ВСP = 180° и ∠КВС + ∠КРС = 180°.

∠А - общий для треугольников АВС и АКР.

∠АКР = ∠АВС (т.к. опираются на одну и ту же дугу).

Треугольники АВС и АКР подобны по двум углам. Значит, $$\frac{AK}{AB} = \frac{AP}{AC} = \frac{KP}{BC}$$

Пусть ВС = х, тогда АВ = 1,6х. Пусть КР = у, тогда $$\frac{AP}{AC} = \frac{y}{x}$$

Т.к. треугольники АВС и АКР подобны, то ∠С = ∠КРА и ∠В = ∠К. Т.е., КР || ВС.

По теореме Фалеса: $$\frac{AK}{KB} = \frac{AP}{PC}$$.

$$\frac{AK}{AB} = \frac{AP}{AC} = \frac{AK}{AK+KB} = \frac{AP}{AP+PC}$$

Пусть АК = z, тогда $$\frac{z}{1,6x} = \frac{16}{AP+PC}$$.

Пусть АК = а. Тогда $$\frac{a}{1.6BC} = \frac{AP}{AC} = \frac{KP}{BC}$$. Следовательно KP = (AP/AC) * BC

Т.к. КР || ВС, то треугольники АКР и АВС подобны. Значит, $$\frac{AP}{AC} = \frac{AK}{AB} = \frac{KP}{BC}$$.

$$\frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB}$$, откуда KP = (AP/AB) * BC = (AP/1.6BC) * BC = (AP * BC) / AB = AP/1.6 = 16/1.6 = 10.

Ответ: 10.