21. 3 балла. Прямоугольная трапеция с основаниями 12 см и 15 см и высотой 4 см вращается вокруг меньшего основания. Найдите площадь поверхности полученного тела вращения..

Решение:

При вращении прямоугольной трапеции вокруг меньшего основания получится цилиндр и конус. Основания трапеции: 12 см и 15 см. Высота трапеции: 4 см. Радиус цилиндра: 4 см. Высота цилиндра: 12 см. Разница между основаниями: 15 - 12 = 3 см. Это катет конуса. Радиус конуса: 4 см. Высота конуса: 3 см. Образующая конуса (l): \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) см. Площадь поверхности тела вращения: \[S = S_{\text{бок. цил.}} + S_{\text{осн. цил.}} + S_{\text{бок. кон.}}\] \[S = 2\pi R h + \pi R^2 + \pi R l\] \[S = 2 \pi \cdot 4 \cdot 12 + \pi \cdot 4^2 + \pi \cdot 4 \cdot 5\] \[S = 96\pi + 16\pi + 20\pi = 132\pi \text{ см}^2\]

Ответ: \(132\pi \) см²