20. 3. балла. Найдите все решения уравнения (sin x + cos x)² = 1 + sin x cos x, принадлежащие отрезку [0; 2π].

Решение:

Уравнение: \[(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin x \cos x\] Раскрываем квадрат: \[\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin x \cos x\] Используем тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[1 + 2 \sin x \cos x = 1 + \sin x \cos x\] \[2 \sin x \cos x - \sin x \cos x = 0\] \[\sin x \cos x = 0\] Это уравнение выполняется, когда \(\sin x = 0\) или \(\cos x = 0\). 1. \(\sin x = 0\) на отрезке [0; 2π]: \[x = 0, \pi, 2\pi\] 2. \(\cos x = 0\) на отрезке [0; 2π]: \[x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\]

Ответ: 0, π/2, π, 3π/2, 2π