18. 2.балла. Найдите промежутки возрастания и точки экстремума функции y = 2x³ + 9x²-24x

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастания и точки экстремума, необходимо найти производную функции и определить, где она больше или меньше нуля. 1. Находим производную функции: \[y = 2x^3 + 9x^2 - 24x\] \[y' = 6x^2 + 18x - 24\] 2. Приравниваем производную к нулю и находим корни: \[6x^2 + 18x - 24 = 0\] Разделим на 6: \[x^2 + 3x - 4 = 0\] Решаем квадратное уравнение: \[D = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25\] \[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1\] \[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4\] 3. Определяем знаки производной на интервалах: Интервалы: \((-\infty; -4), (-4; 1), (1; +\infty)\) Знаки: (+), (-), (+) 4. Определяем промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает на интервалах \((-\infty; -4)\) и \((1; +\infty)\). Функция убывает на интервале \((-4; 1)\). 5. Находим точки экстремума: Точка максимума: x = -4 Точка минимума: x = 1

Ответ: Возрастает: (-∞; -4) ∪ (1; +∞), Убывает: (-4; 1), Точки экстремума: x = -4 (максимум), x = 1 (минимум)