9. Вычислить интеграл \( \int_{0}^{2} (25x^4 + 16x^3 - 3x^2)dx \).

Решение:

1. Вычислим неопределенный интеграл от функции \( 25x^4 + 16x^3 - 3x^2 \).
• \( \int (25x^4 + 16x^3 - 3x^2)dx = 25 \int x^4 dx + 16 \int x^3 dx - 3 \int x^2 dx \).
• Используя правило \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), получаем:
• \( 25 \frac{x^5}{5} + 16 \frac{x^4}{4} - 3 \frac{x^3}{3} + C \).
• Упростим: \( 5x^5 + 4x^4 - x^3 + C \).
2. Теперь вычислим определенный интеграл, подставив пределы интегрирования от \( 0 \) до \( 2 \) в полученное выражение.
• \( [5x^5 + 4x^4 - x^3]_0^2 = (5 \cdot 2^5 + 4 \cdot 2^4 - 2^3) - (5 \cdot 0^5 + 4 \cdot 0^4 - 0^3) \).
• \( = (5 \cdot 32 + 4 \cdot 16 - 8) - (0 + 0 - 0) \).
• \( = (160 + 64 - 8) - 0 \).
• \( = 224 - 8 \).
• \( = 216 \).

Ответ: 216.