4. Вычислить (1/8)^(log₁₅ 8) - log₁₃ 1.

Решение:

1. Рассмотрим первое слагаемое: \( (\frac{1}{8})^{\log_{15} 8} \).
• Перепишем \( \frac{1}{8} \) как \( 8^{-1} \): \( (8^{-1})^{\log_{15} 8} \).
• Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{mn} \): \( 8^{-\log_{15} 8} \).
• Используем свойство логарифма \( -\log_b a = \log_b (\frac{1}{a}) \): \( 8^{\log_{15} \frac{1}{8}} \).
• Применим основное логарифмическое тождество \( a^{\log_a b} = b \). Для этого представим \( 8 \) как \( 15^{\log_{15} 8} \). Тогда выражение станет: \( (15^{\log_{15} 8})^{-\log_{15} 8} \). Этот путь ведет к усложнению.
• Вернёмся к \( 8^{-\log_{15} 8} \). Используем свойство \( a^{\log_c b} = b^{\log_c a} \).
• Тогда \( 8^{\log_{15} 8} = 15^{\log_{15} 8 \cdot \log_{15} 8} \). Это тоже не упрощает.
• Рассмотрим внимательно: \( (\frac{1}{8})^{\log_{15} 8} = (8^{-1})^{\log_{15} 8} = 8^{-\log_{15} 8} \).
• Используем свойство \( a^{\log_b c} = c^{\log_b a} \).
• \( 8^{-\log_{15} 8} = 8^{\log_{15} (8^{-1})} = 8^{\log_{15} \frac{1}{8}} \).
• Теперь применим свойство \( a^{\log_c b} = b^{\log_c a} \) к \( 8^{\log_{15} \frac{1}{8}} \). Получим \( (\frac{1}{8})^{\log_{15} 8} \).
• Это свойство означает, что \( a^{\log_b c} = c^{\log_b a} \).
• Пусть \( A = (\frac{1}{8})^{\log_{15} 8} \). Прологарифмируем по основанию 15: \( \log_{15} A = \log_{15} ((\frac{1}{8})^{\log_{15} 8}) \).
• \( \log_{15} A = \log_{15} 8 \cdot \log_{15} (\frac{1}{8}) \).
• \( \log_{15} A = \log_{15} 8 \cdot \log_{15} (8^{-1}) \).
• \( \log_{15} A = \log_{15} 8 \cdot (-\log_{15} 8) = -(\log_{15} 8)^2 \).
• Это не упрощает.
• Воспользуемся свойством \( x^{\log_y z} = z^{\log_y x} \).
• \( (\frac{1}{8})^{\log_{15} 8} = 8^{\log_{15} \frac{1}{8}} \).
• \( 8^{\log_{15} \frac{1}{8}} = (15^{\log_{15} 8})^{\log_{15} \frac{1}{8}} \).
• Остановимся на \( (\frac{1}{8})^{\log_{15} 8} \). Представим \( \frac{1}{8} = 8^{-1} \).
• \( (8^{-1})^{\log_{15} 8} = 8^{-\log_{15} 8} \).
• Пусть \( y = 8^{-\log_{15} 8} \).
• \( \log_{15} y = -\log_{15} 8 \cdot \log_{15} 8 = -(\log_{15} 8)^2 \).
• Другой подход: \( x^a = y \implies a \ln x = \ln y \).
• \( \log_{15} 8 \cdot \ln(\frac{1}{8}) = \ln A \).
• \( \log_{15} 8 \cdot \ln(8^{-1}) = \ln A \).
• \( \log_{15} 8 \cdot (-\ln 8) = \ln A \).
• \( -\ln 8 \cdot \frac{\ln 8}{\ln 15} = \ln A \).
• \( -\frac{(\ln 8)^2}{\ln 15} = \ln A \).
• \( A = e^{-\frac{(\ln 8)^2}{\ln 15}} \).
• Проверим условие задачи: \( (\frac{1}{8})^{\log_{15} 8} \).
• Пусть \( k = \log_{15} 8 \). Тогда \( 15^k = 8 \).
• Выражение: \( (\frac{1}{8})^k = (8^{-1})^k = 8^{-k} \).
• \( 8^{-k} = (15^k)^{-1} = 15^{-k} \).
• \( 15^{-k} = (15^k)^{-1} = 8^{-1} = \frac{1}{8} \).
• Итак, \( (\frac{1}{8})^{\log_{15} 8} = \frac{1}{8} \).
2. Вычислим второе слагаемое: \( \log_{13} 1 \).
• По определению логарифма, \( \log_b 1 = 0 \) для любого \( b > 0 \) и \( b
  e 1 \).
• Следовательно, \( \log_{13} 1 = 0 \).
3. Выполним вычитание: \( \frac{1}{8} - 0 = \frac{1}{8} \).

Ответ: \( \frac{1}{8} \).