7. Найти f'(1), если f(x) = (3x+2)⁴.

Решение:

Сначала найдём производную функции \( f(x) = (3x+2)^4 \) с помощью правила производной сложной функции. Пусть \( u = 3x+2 \). Тогда \( f(u) = u^4 \).

Производная \( f'(u) = 4u^3 \).

Производная \( u'(x) = 3 \).

По правилу дифференцирования сложной функции, \( f'(x) = f'(u) \cdot u'(x) \):

\( f'(x) = 4(3x+2)^3 \cdot 3 \)

\( f'(x) = 12(3x+2)^3 \)

Теперь подставим \( x=1 \) в выражение для производной:

\( f'(1) = 12(3 \cdot 1 + 2)^3 \)

\( f'(1) = 12(3 + 2)^3 \)

\( f'(1) = 12(5)^3 \)

\( f'(1) = 12 \cdot 125 \)

\( f'(1) = 1500 \)

Ответ: 1500.