8. Найти точки экстремума функции y = -3x⁴ + 24x² + 5.

Решение:

1. Для нахождения точек экстремума найдём производную функции \( y \) и приравняем её к нулю.
2. \( y' = (-3x^4 + 24x^2 + 5)' = -12x^3 + 48x \).
3. Приравняем производную к нулю: \( -12x^3 + 48x = 0 \).
4. Вынесем общий множитель: \( -12x(x^2 - 4) = 0 \).
5. Решим уравнение: \( -12x(x - 2)(x + 2) = 0 \).
6. Получаем три критические точки: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \), \( x_3 = -2 \).
7. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками, чтобы найти точки максимума и минимума.
8. На интервале \( (-\infty, -2) \), возьмём \( x = -3 \): \( y'(-3) = -12(-3)((-3)^2 - 4) = 36(9 - 4) = 36 · 5 = 180 > 0 \). Функция возрастает.
9. На интервале \( (-2, 0) \), возьмём \( x = -1 \): \( y'(-1) = -12(-1)((-1)^2 - 4) = 12(1 - 4) = 12 · (-3) = -36 < 0 \). Функция убывает.
10. На интервале \( (0, 2) \), возьмём \( x = 1 \): \( y'(1) = -12(1)(1^2 - 4) = -12(1 - 4) = -12 · (-3) = 36 > 0 \). Функция возрастает.
11. На интервале \( (2, \infty) \), возьмём \( x = 3 \): \( y'(3) = -12(3)(3^2 - 4) = -36(9 - 4) = -36 · 5 = -180 < 0 \). Функция убывает.
12. Точки экстремума:
13. \( x = -2 \) — точка локального минимума (знак производной меняется с '-' на '+').
14. \( x = 0 \) — точка локального максимума (знак производной меняется с '+' на '-').
15. \( x = 2 \) — точка локального минимума (знак производной меняется с '-' на '+').
16. Найдем значения функции в этих точках:
17. \( y(-2) = -3(-2)^4 + 24(-2)^2 + 5 = -3(16) + 24(4) + 5 = -48 + 96 + 5 = 53 \).
18. \( y(0) = -3(0)^4 + 24(0)^2 + 5 = 0 + 0 + 5 = 5 \).
19. \( y(2) = -3(2)^4 + 24(2)^2 + 5 = -3(16) + 24(4) + 5 = -48 + 96 + 5 = 53 \).

Ответ: Точки минимума: \( (-2, 53) \) и \( (2, 53) \). Точка максимума: \( (0, 5) \).