9. Решите неравенство (методом интервалов) (x-6)(4x+7)/(9-x) ≤ 0

Решение:

Для решения неравенства методом интервалов найдём корни числителя и знаменателя.

Числитель:

\( (x-6)(4x+7) = 0 \)

\( x-6 = 0 \) или \( 4x+7 = 0 \)

\( x = 6 \) или \( x = -\frac{7}{4} = -1.75 \)

Знаменатель:

\( 9-x = 0 \)

\( x = 9 \)

Отметим найденные точки на числовой оси: -1.75, 6, 9. Они делят ось на четыре интервала: \( (-\infty; -1.75], [-1.75; 6], [6; 9), (9; \infty) \). Обратите внимание, что \( x = 9 \) не входит в область определения.

Проверим знак выражения \( \frac{(x-6)(4x+7)}{9-x} \) на каждом интервале:

• Интервал \( (-\infty; -1.75) \): Возьмём \( x = -2 \). \( \frac{(-2-6)(4(-2)+7)}{9-(-2)} = \frac{(-8)(-1)}{11} = \frac{8}{11} > 0 \)
• Интервал \( (-1.75; 6) \): Возьмём \( x = 0 \). \( \frac{(0-6)(4(0)+7)}{9-0} = \frac{(-6)(7)}{9} = \frac{-42}{9} < 0 \)
• Интервал \( (6; 9) \): Возьмём \( x = 7 \). \( \frac{(7-6)(4(7)+7)}{9-7} = \frac{(1)(35)}{2} = \frac{35}{2} > 0 \)
• Интервал \( (9; \infty) \): Возьмём \( x = 10 \). \( \frac{(10-6)(4(10)+7)}{9-10} = \frac{(4)(47)}{-1} = -188 < 0 \)

Нам нужно, чтобы выражение было \( \le 0 \). Это соответствует интервалам \( (-1.75; 6) \) и \( (9; \infty) \).

Учитывая, что \( x = -1.75 \) и \( x = 6 \) являются корнями числителя, они входят в решение. \( x = 9 \) — корень знаменателя, он не входит в решение.

Объединяя интервалы, получаем:

\( [-1.75; 6] \cup (9; \infty) \)

\( [-\frac{7}{4}; 6] \cup (9; \infty) \)

Ответ: \( [-\frac{7}{4}; 6] \cup (9; \infty) \)