3. Найдите экстремумы функции f(x) = 2x³ + 3x² - 12x

Решение:

Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти её производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

1. Находим производную функции:

\( f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 12x)' \)

\( f'(x) = 2 · 3x^2 + 3 · 2x - 12 \)

\( f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 \)

2. Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

\( 6x^2 + 6x - 12 = 0 \)

Разделим обе части на 6:

\( x^2 + x - 2 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 · 1 · (-2) = 1 + 8 = 9 \)

\( √{D} = 3 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-b + √{D}}{2a} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-b - √{D}}{2a} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

3. Определяем, являются ли эти точки точками экстремума.

Проверим знак производной на интервалах, образованных точками \( x = -2 \) и \( x = 1 \).

• Интервал \( (-\infty; -2) \): Возьмём \( x = -3 \). \( f'(-3) = 6(-3)^2 + 6(-3) - 12 = 6(9) - 18 - 12 = 54 - 30 = 24 > 0 \). Функция возрастает.
• Интервал \( (-2; 1) \): Возьмём \( x = 0 \). \( f'(0) = 6(0)^2 + 6(0) - 12 = -12 < 0 \). Функция убывает.
• Интервал \( (1; \infty) \): Возьмём \( x = 2 \). \( f'(2) = 6(2)^2 + 6(2) - 12 = 6(4) + 12 - 12 = 24 > 0 \). Функция возрастает.

Следовательно, \( x = -2 \) — точка локального максимума, а \( x = 1 \) — точка локального минимума.

4. Находим значения функции в точках экстремума:

Локальный максимум:

\( f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) = 2(-8) + 3(4) + 24 = -16 + 12 + 24 = 20 \)

Локальный минимум:

\( f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) = 2 + 3 - 12 = -7 \)

Ответ: Локальный максимум равен 20 при \( x = -2 \). Локальный минимум равен -7 при \( x = 1 \).