4. Решите уравнение 5ˣ⁺¹ + 5ˣ + 5ˣ⁻¹ = 31

Решение:

Перепишем уравнение, используя свойства степеней \( a^{m+n} = a^m · a^n \) и \( a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \):

\( 5^x · 5^1 + 5^x + \frac{5^x}{5^1} = 31 \)

\( 5 · 5^x + 5^x + \frac{1}{5} · 5^x = 31 \)

Вынесем \( 5^x \) за скобки:

\( 5^x (5 + 1 + \frac{1}{5}) = 31 \)

Сложим числа в скобках:

\( 5 + 1 + \frac{1}{5} = 6 + \frac{1}{5} = \frac{30}{5} + \frac{1}{5} = \frac{31}{5} \)

Теперь уравнение выглядит так:

\( 5^x · \frac{31}{5} = 31 \)

Разделим обе части на \( \frac{31}{5} \), что эквивалентно умножению на \( \frac{5}{31} \):

\( 5^x = 31 · \frac{5}{31} \)

\( 5^x = 5 \)

Поскольку основания степеней равны, равны и показатели:

\( x = 1 \)

Ответ: \( x = 1 \)