9. Найти область определения функции \( y = \sqrt{x(2-x)} - \frac{x}{\ln(1-x)} \).

Решение:

Чтобы найти область определения функции, нужно учесть следующие условия:

1. Выражение под корнем квадратным должно быть неотрицательным: \( x(2-x) \geq 0 \).
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: \( \ln(1-x) \neq 0 \).
3. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: \( 1-x > 0 \).

Рассмотрим каждое условие:

1. \( x(2-x) \geq 0 \): Это парабола ветвями вниз, корни \( x=0 \) и \( x=2 \). Неравенство выполняется при \( 0 \leq x \leq 2 \).
2. \( \ln(1-x) \neq 0 \): Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен 1. Значит, \( 1-x \neq 1 \), откуда \( x \neq 0 \).
3. \( 1-x > 0 \): Отсюда \( x < 1 \).

Объединим все условия:

• \( 0 \leq x \leq 2 \)
• \( x \neq 0 \)
• \( x < 1 \)

Совмещая эти условия, получаем:

• Из \( x < 1 \) и \( 0 \leq x \leq 2 \) следует \( 0 \leq x < 1 \).
• Из \( x \neq 0 \) и \( 0 \leq x < 1 \) следует \( 0 < x < 1 \).

Таким образом, область определения функции — интервал \( (0; 1) \).

Ответ: \( (0; 1) \).