11. Найти точку максимума функции \( y = x^3 + 6x^2 + 11 \).

Решение:

1. Для нахождения точки максимума функции, найдём её производную:
\( y' = (x^3 + 6x^2 + 11)' = 3x^2 + 12x \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
\( 3x^2 + 12x = 0 \) \( 3x(x + 4) = 0 \).
3. Отсюда получаем две критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -4 \).
4. Определим знак производной на интервалах, образованных критическими точками:
• При \( x < -4 \) (например, \( x = -5 \)): \( y' = 3(-5)^2 + 12(-5) = 3(25) - 60 = 75 - 60 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -4 < x < 0 \) (например, \( x = -2 \)): \( y' = 3(-2)^2 + 12(-2) = 3(4) - 24 = 12 - 24 = -12 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)): \( y' = 3(1)^2 + 12(1) = 3 + 12 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
5. Точка \( x = -4 \) является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус. Точка \( x = 0 \) является точкой минимума.
6. Найдем значение \( y \) в точке максимума:
\( y(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 + 11 = -64 + 6(16) + 11 = -64 + 96 + 11 = 32 + 11 = 43 \).

Ответ: Точка максимума имеет координаты \( (-4; 43) \).