6. Решить тригонометрическое уравнение 2sin²x+7cosx+2=0

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), откуда \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).
2. Подставим в уравнение: \( 2(1 - \cos^2 x) + 7 \cos x + 2 = 0 \).
3. Раскроем скобки: \( 2 - 2 \cos^2 x + 7 \cos x + 2 = 0 \).
4. Приведем к стандартному виду квадратного уравнения относительно \( \cos x \): \( -2 \cos^2 x + 7 \cos x + 4 = 0 \).
5. Умножим на -1 для удобства: \( 2 \cos^2 x - 7 \cos x - 4 = 0 \).
6. Сделаем замену: пусть \( t = \cos x \). Тогда \( 2t^2 - 7t - 4 = 0 \).
7. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 \).
8. Найдем корни для \( t \):
   • \( t_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4 \)
   • \( t_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)
9. Вернемся к замене \( t = \cos x \).
   • \( \cos x = 4 \) — решений нет, так как \( -1 \le \cos x \le 1 \).
   • \( \cos x = -\frac{1}{2} \).
10. Решим \( \cos x = -\frac{1}{2} \). Корни: \( x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2 \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
11. \( \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3} \).
12. Таким образом, \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).