10. Вычислить значение выражения (27^(2/3) * 2^(1/2) * 2^(5/6))^6

Решение:

1. Воспользуемся свойством степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
2. Сначала упростим выражение внутри скобок:
• \( 27^{2/3} = (3^3)^{2/3} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9 \).
• \( 2^{1/2} \cdot 2^{5/6} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{5}{6}} = 2^{\frac{3}{6} + \frac{5}{6}} = 2^{\frac{8}{6}} = 2^{\frac{4}{3}} \).
• Итак, выражение в скобках равно \( 9 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \).
3. Теперь возведем результат в 6-ю степень: \( (9 \cdot 2^{\frac{4}{3}})^6 \).
4. \( 9^6 \cdot (2^{\frac{4}{3}})^6 = 9^6 \cdot 2^{\frac{4}{3} \cdot 6} = 9^6 \cdot 2^{8} \).
5. Вычислим \( 9^6 \): \( 9^6 = (3^2)^6 = 3^{12} \).
6. Таким образом, \( 3^{12} \cdot 2^8 \).
7. \( 3^{12} = (3^6)^2 = 729^2 = 531441 \).
8. \( 2^8 = 256 \).
9. \( 531441 \cdot 256 = 136048896 \).

Ответ: \( 136048896 \).