2. Решить логарифмическое уравнение log₂(7x-4)=2+log₂13

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): \( 7x-4 > 0 \Rightarrow 7x > 4 \Rightarrow x > \frac{4}{7} \).
2. Преобразуем правую часть уравнения: \( 2 = \log_2 2^2 = \log_2 4 \).
3. Уравнение примет вид: \( \log_2 (7x-4) = \log_2 4 + \log_2 13 \).
4. Используем свойство логарифма \( \log_b M + \log_b N = \log_b (M \cdot N) \): \( \log_2 (7x-4) = \log_2 (4 \cdot 13) \).
5. \( \log_2 (7x-4) = \log_2 52 \).
6. Так как основания логарифмов равны, приравняем аргументы: \( 7x-4 = 52 \).
7. Решим линейное уравнение: \( 7x = 52 + 4 \Rightarrow 7x = 56 \Rightarrow x = \frac{56}{7} \Rightarrow x = 8 \).
8. Проверим корень по ОДЗ (\( x > \frac{4}{7} \)): \( 8 > \frac{4}{7} \) (верно).

Ответ: \( x = 8 \).