5. Решить систему уравнений x-y²-1=0, y²+y³=xy

Решение:

1. Из первого уравнения выразим \( x \): \( x = y^2+1 \).
2. Подставим это выражение во второе уравнение: \( y^2 + y^3 = (y^2+1)y \).
3. Раскроем скобки: \( y^2 + y^3 = y^3 + y \).
4. Сократим \( y^3 \) в обеих частях: \( y^2 = y \).
5. Перенесем все в одну сторону: \( y^2 - y = 0 \).
6. Вынесем \( y \) за скобки: \( y(y-1) = 0 \).
7. Получим два возможных значения для \( y \): \( y=0 \) или \( y=1 \).
8. Найдем соответствующие значения \( x \) для каждого \( y \), используя \( x = y^2+1 \):
   • При \( y=0 \), \( x = 0^2+1 = 1 \).
   • При \( y=1 \), \( x = 1^2+1 = 2 \).
9. Проверим полученные пары в исходных уравнениях:
   • Для \( (1; 0) \): \( 1 - 0^2 - 1 = 0 \) (верно), \( 0^2 + 0^3 = 1 · 0 \Rightarrow 0 = 0 \) (верно).
   • Для \( (2; 1) \): \( 2 - 1^2 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0 \) (верно), \( 1^2 + 1^3 = 2 · 1 \Rightarrow 1 + 1 = 2 \Rightarrow 2 = 2 \) (верно).

Ответ: \( (1; 0), (2; 1) \).