2. Решить логарифмическое уравнение log₂ 3-log₂(2-3x)=log₂(4-3x)

Решение:

1. Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):
   • \( 2-3x > 0 \Rightarrow 3x < 2 \Rightarrow x < \frac{2}{3} \)
   • \( 4-3x > 0 \Rightarrow 3x < 4 \Rightarrow x < \frac{4}{3} \)
   • Объединяя условия, получаем \( x < \frac{2}{3} \).
2. Применим свойства логарифмов: \( \log_2 \frac{3}{2-3x} = \log_2 (4-3x) \).
3. Так как основания логарифмов равны, приравняем аргументы: \( \frac{3}{2-3x} = 4-3x \).
4. Решим полученное уравнение: \( 3 = (4-3x)(2-3x) \).
5. Раскроем скобки: \( 3 = 8 - 12x - 6x + 9x^2 \).
6. Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: \( 9x^2 - 18x + 8 - 3 = 0 \Rightarrow 9x^2 - 18x + 5 = 0 \).
7. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5 = 324 - 180 = 144 \).
8. Найдем корни:
   • \( x_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{144}}{2 \cdot 9} = \frac{18 + 12}{18} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3} \)
   • \( x_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{144}}{2 \cdot 9} = \frac{18 - 12}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \)
9. Проверим корни по ОДЗ (\( x < \frac{2}{3} \)):
   • \( x_1 = \frac{5}{3} \) не удовлетворяет ОДЗ, так как \( \frac{5}{3} \ge \frac{2}{3} \).
   • \( x_2 = \frac{1}{3} \) удовлетворяет ОДЗ, так как \( \frac{1}{3} < \frac{2}{3} \).

Ответ: \( x = \frac{1}{3} \).