30) В соревновании участвовало 10 спортсменов. Каким количеством способов можно распределить три медали – золотую, серебряную и бронзовую?

Решение:

В данной задаче важен порядок, в котором распределяются медали (золото, серебро, бронза – это разные места). Следовательно, мы будем использовать размещения.

У нас есть 10 спортсменов, и нам нужно выбрать 3 из них и распределить им медали. Это означает, что нам нужно найти число размещений из 10 по 3.

Количество способов выбрать и расположить \( k \) элементов из \( n \) возможных равно числу размещений \( A_n^k \), которое вычисляется по формуле:

\[ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \]

В данном случае \( n = 10 \) (количество спортсменов) и \( k = 3 \) (количество медалей).

1. Подставим значения в формулу: \( A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} \).
2. Рассчитаем значение: \( A_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720 \).

Ответ: 720 способов.