23) Решить неравенство методом интервалов \( \frac{(x-1)^2(x+3)}{x} \leq 0 \)

Решение:

Метод интервалов основан на нахождении корней числителя и знаменателя и проверке знака выражения на каждом интервале.

1. Найдем корни числителя: \( (x-1)^2(x+3) = 0 \). Корни: \( x = 1 \) (кратности 2) и \( x = -3 \).
2. Найдем корень знаменателя: \( x = 0 \). Этот корень не входит в область допустимых значений (ОДЗ), так как на него нельзя делить.
3. Отметим найденные точки на числовой оси: \( -3 \) (корень), \( 0 \) (ноль знаменателя), \( 1 \) (корень).
4. Расставим знаки выражения на интервалах. Учитываем, что корень \( x=1 \) имеет чётную кратность, поэтому знак на интервалах, соседних с ним, не меняется.
   • Возьмем \( x = -4 \) (интервал \( (-\infty, -3) \)): \( \frac{(-4-1)^2(-4+3)}{-4} = \frac{(-5)^2(-1)}{-4} = \frac{25(-1)}{-4} = \frac{-25}{-4} = 6.25 > 0 \).
   • На интервале \( (-3, 0) \) знак будет минус, так как \( x=-3 \) — корень нечётной кратности.
   • На интервале \( (0, 1) \) знак будет плюс.
   • На интервале \( (1, +\infty) \) знак будет плюс, так как \( x=1 \) — корень чётной кратности.
5. Учитывая, что неравенство \( \leq 0 \), нам нужны интервалы, где выражение отрицательно или равно нулю. Точки, где выражение равно нулю, это \( x=-3 \) и \( x=1 \). Точка \( x=0 \) не входит в ОДЗ.

Ответ: \\(x \in [-3; 0\) \(\cup\) \{1\}.