25) Решить уравнение C²(x+1) + C²(x) = 16

Решение:

Воспользуемся формулой для сочетаний \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

1. Распишем сочетания:
   • \( C_{x+1}^2 = \frac{(x+1)!}{2!(x+1-2)!} = \frac{(x+1)!}{2!(x-1)!} = \frac{(x+1)x(x-1)!}{2(x-1)!} = \frac{x(x+1)}{2} \)
   • \( C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{2(x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2} \)
2. Подставим эти выражения в уравнение: \( \frac{x(x+1)}{2} + \frac{x(x-1)}{2} = 16 \).
3. Умножим обе части уравнения на 2: \( x(x+1) + x(x-1) = 32 \).
4. Раскроем скобки: \( x^2 + x + x^2 - x = 32 \).
5. Приведём подобные слагаемые: \( 2x^2 = 32 \).
6. Решим полученное уравнение: \( x^2 = 16 \) \( x = \pm 4 \).
7. Условие для сочетаний \( C_n^k \) требует, чтобы \( n \ge k \) и \( n \ge 0 \). В нашем случае \( x+1 \ge 2 \) и \( x \ge 2 \). Следовательно, \( x \ge 2 \).
8. Из полученных корней \( x = 4 \) и \( x = -4 \), только \( x = 4 \) удовлетворяет условию \( x \ge 2 \).

Ответ: x = 4.