19) Найдите координаты точки графика функции f(x) = x² - 3х + 1, в которой касательная параллельна прямой у = 4х +3

Решение:

Касательная к графику функции параллельна прямой, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания. Угловой коэффициент прямой \( y = 4x + 3 \) равен 4.

1. Найдём производную функции \( f(x) = x^2 - 3x + 1 \): \( f'(x) = 2x - 3 \).
2. Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой: \( 2x - 3 = 4 \).
3. Решим полученное уравнение: \( 2x = 4 + 3 \) \( 2x = 7 \) \( x = \frac{7}{2} \).
4. Теперь найдём координату y, подставив найденное значение x в исходную функцию: \( f(\frac{7}{2}) = (\frac{7}{2})^2 - 3(\frac{7}{2}) + 1 = \frac{49}{4} - \frac{21}{2} + 1 = \frac{49}{4} - \frac{42}{4} + \frac{4}{4} = \frac{49 - 42 + 4}{4} = \frac{11}{4} \).

Ответ: \(\frac{7}{2}; \frac{11}{4}\).