27) Для участия в вечере из пяти певцов выбирают троих. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

В этой задаче порядок выбора певцов не имеет значения, так как нам просто нужно выбрать группу из трёх человек из пяти. Следовательно, мы используем сочетания.

Количество способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) без учёта порядка равно числу сочетаний \( C_n^k \), которое вычисляется по формуле:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

В данном случае \( n = 5 \) (общее количество певцов) и \( k = 3 \) (количество выбираемых певцов).

1. Подставим значения в формулу: \( C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} \).
2. Рассчитаем значение: \( C_5^3 = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10 \).

Ответ: 10 способов.