20) Найти промежутки монотонности для функции у = x³ - 12x

Решение:

Функция возрастает там, где её производная положительна, и убывает там, где производная отрицательна.

1. Найдём производную функции \( y = x^3 - 12x \): \( y' = 3x^2 - 12 \).
2. Чтобы найти промежутки монотонности, приравняем производную к нулю и найдём критические точки: \( 3x^2 - 12 = 0 \) \( 3x^2 = 12 \) \( x^2 = 4 \) \( x = \pm 2 \).
3. Эти точки делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -2) \), \( (-2; 2) \), \( (2; +\infty) \).
4. Проверим знак производной на каждом интервале:
   • На \( (-\infty; -2) \) возьмём \( x = -3 \): \( y'(-3) = 3(-3)^2 - 12 = 3(9) - 12 = 27 - 12 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
   • На \( (-2; 2) \) возьмём \( x = 0 \): \( y'(0) = 3(0)^2 - 12 = -12 < 0 \). Функция убывает.
   • На \( (2; +\infty) \) возьмём \( x = 3 \): \( y'(3) = 3(3)^2 - 12 = 3(9) - 12 = 27 - 12 = 15 > 0 \). Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на интервалах \( (-\infty; -2] \) и \( [2; +\infty) \). Функция убывает на интервале \( [-2; 2] \).