22) Закон движения тела задан формулой S = -t³/3 + 25t² - 590t (м), где t – время в секундах. Найти за какое время тело разгонится до скорости 10 м/с от начала движения.

Решение:

Скорость тела – это производная от пути по времени.

1. Найдём скорость как производную от \( S(t) = -\frac{t^3}{3} + 25t^2 - 590t \): \( v(t) = S'(t) = -\frac{3t^2}{3} + 50t - 590 = -t^2 + 50t - 590 \).
2. Нам нужно найти время, когда скорость равна 10 м/с. Приравняем \( v(t) \) к 10: \( -t^2 + 50t - 590 = 10 \).
3. Решим полученное квадратное уравнение: \( -t^2 + 50t - 600 = 0 \) \( t^2 - 50t + 600 = 0 \).
4. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4(1)(600) = 2500 - 2400 = 100 \).
5. Найдём корни уравнения: \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 + 10}{2} = \frac{60}{2} = 30 \) \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 - 10}{2} = \frac{40}{2} = 20 \).

Ответ: Тело достигнет скорости 10 м/с через 20 секунд и 30 секунд.