30. Найти производную: ln x / (1-x)

Решение:

Используем правило дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Здесь \( u = \ln x \) и \( v = 1-x \).

Найдём производные \( u \) и \( v \):

• \( u' = (\ln x)' = \frac{1}{x} \)
• \( v' = (1-x)' = (1)' - (x)' = 0 - 1 = -1 \)

Подставим в формулу:

\( \left(\frac{\ln x}{1-x}\right)' = \frac{\frac{1}{x} \cdot (1-x) - \ln x \cdot (-1)}{(1-x)^2} \)

\( = \frac{\frac{1-x}{x} + \ln x}{(1-x)^2} \)

Приведём числитель к общему знаменателю:

\( = \frac{\frac{1-x + x \ln x}{x}}{(1-x)^2} = \frac{1-x + x \ln x}{x(1-x)^2} \)

Ответ: \(\frac{1-x + x \ln x}{x(1-x)^2}\)