27. Найти производную: x / (1+x²)

Решение:

Используем правило дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Здесь \( u = x \) и \( v = 1+x^2 \).

Найдём производные \( u \) и \( v \):

• \( u' = (x)' = 1 \)
• \( v' = (1+x^2)' = (1)' + (x^2)' = 0 + 2x = 2x \)

Подставим в формулу:

\( \left(\frac{x}{1+x^2}\right)' = \frac{1 · (1+x^2) - x · 2x}{(1+x^2)^2} \)

\( = \frac{1+x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} \)

Ответ: \(\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\)