Задание 7. Расстояние между пунктами А и В составляет 25 км. Автомобилист и велосипедист выехали одновременно. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1. Пусть \( v_v \) — скорость велосипедиста (км/ч), а \( v_a \) — скорость автомобилиста (км/ч).
2. По условию, автомобилист проезжает на 40 км/ч больше, чем велосипедист: \( v_a = v_v + 40 \).
3. Расстояние между пунктами А и В равно 25 км.
4. Время в пути для велосипедиста: \( t_v = \frac{25}{v_v} \) (часы).
5. Время в пути для автомобилиста: \( t_a = \frac{25}{v_a} = \frac{25}{v_v + 40} \) (часы).
6. Велосипедист прибыл на 2 часа позже автомобилиста, значит \( t_v = t_a + 2 \).
7. Подставим выражения для времени: \[ \frac{25}{v_v} = \frac{25}{v_v + 40} + 2 \]
8. Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{25}{v_v} - \frac{25}{v_v + 40} = 2 \] \[ \frac{25(v_v + 40) - 25v_v}{v_v(v_v + 40)} = 2 \] \[ \frac{25v_v + 1000 - 25v_v}{v_v^2 + 40v_v} = 2 \] \[ \frac{1000}{v_v^2 + 40v_v} = 2 \]
9. Перемножим крест-накрест: \[ 1000 = 2(v_v^2 + 40v_v) \] \[ 500 = v_v^2 + 40v_v \]
10. Получим квадратное уравнение: \( v_v^2 + 40v_v - 500 = 0 \).
11. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 40^2 - 4(1)(-500) = 1600 + 2000 = 3600 \). \( \sqrt{D} = 60 \).
12. Найдем корни: \[ v_{v1} = \frac{-40 + 60}{2} = \frac{20}{2} = 10 \] \[ v_{v2} = \frac{-40 - 60}{2} = \frac{-100}{2} = -50 \]
13. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: 10 км/ч.