Задание 11. Напишите уравнение сферы с центром С, проходящей через точку М, если С(7,-3,10), М(-4,9,5)

Решение:

Уравнение сферы с центром \( (x_0, y_0, z_0) \) и радиусом \( R \) имеет вид: \( (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2 \).

В данном случае, центр сферы \( C \) имеет координаты \( (x_0, y_0, z_0) = (7, -3, 10) \).

Радиус сферы \( R \) равен расстоянию между центром \( C \) и точкой \( M \), через которую проходит сфера. Расстояние между двумя точками в трёхмерном пространстве вычисляется по формуле:

\[ R = \sqrt{(x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2 + (z_M - z_C)^2} \]

Подставим координаты точек \( C \) и \( M \):

\[ R = \sqrt{(-4 - 7)^2 + (9 - (-3))^2 + (5 - 10)^2} \]

\[ R = \sqrt{(-11)^2 + (9 + 3)^2 + (-5)^2} \]

\[ R = \sqrt{121 + 12^2 + 25} \]

\[ R = \sqrt{121 + 144 + 25} \]

\[ R = \sqrt{290} \]

Теперь нам нужно найти \( R^2 \) для уравнения сферы:

\[ R^2 = (\sqrt{290})^2 = 290 \]

Подставим координаты центра \( C \) и значение \( R^2 \) в уравнение сферы:

\[ (x - 7)^2 + (y - (-3))^2 + (z - 10)^2 = 290 \]

\[ (x - 7)^2 + (y + 3)^2 + (z - 10)^2 = 290 \]

Ответ: \( (x - 7)^2 + (y + 3)^2 + (z - 10)^2 = 290 \).