Задание 10. Высота цилиндра равна 8, а радиус основания 14. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра на расстоянии 10 от неё.

Решение:

1. Рассмотрим цилиндр с радиусом основания \( R = 14 \) и высотой \( H = 8 \).
2. Плоскость сечения проходит параллельно оси цилиндра на расстоянии \( d = 10 \) от неё.
3. Это сечение является прямоугольником. Высота этого прямоугольника равна высоте цилиндра, то есть \( h_{сеч} = H = 8 \).
4. Ширина этого прямоугольника \( w_{сеч} \) является хордой в основании цилиндра. Расстояние от центра основания до этой хорды равно \( d = 10 \).
5. Рассмотрим основание цилиндра (круг) с радиусом \( R=14 \). Хорда \( w_{сеч} \) находится на расстоянии \( d=10 \) от центра. Используем теорему Пифагора, чтобы найти половину длины хорды: \( \left(\frac{w_{сеч}}{2}\right)^2 + d^2 = R^2 \).
6. Подставим значения: \[ \left(\frac{w_{сеч}}{2}\right)^2 + 10^2 = 14^2 \] \[ \left(\frac{w_{сеч}}{2}\right)^2 + 100 = 196 \] \[ \left(\frac{w_{сеч}}{2}\right)^2 = 196 - 100 = 96 \] \[ \frac{w_{сеч}}{2} = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6} \]
7. Найдем полную ширину сечения: \( w_{сеч} = 2 \cdot 4\sqrt{6} = 8\sqrt{6} \).
8. Площадь сечения (прямоугольника) равна произведению его ширины и высоты: \[ S_{сеч} = w_{сеч} \cdot h_{сеч} = 8\sqrt{6} \cdot 8 = 64\sqrt{6} \]

Ответ: \( 64\sqrt{6} \).