Задание 6. Найдите tga, если cosa = \( \frac{\sqrt{10}}{8} \) и а ∈ (\( \frac{3\pi}{2} \); \( 2\pi \)).

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \).
2. Выразим \( \sin^2\alpha \): \[ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha \]
3. Подставим значение \( \cos\alpha \): \[ \sin^2\alpha = 1 - \left( \frac{\sqrt{10}}{8} \right)^2 = 1 - \frac{10}{64} = 1 - \frac{5}{32} = \frac{32-5}{32} = \frac{27}{32} \]
4. Найдем \( \sin\alpha \). Так как \( \alpha \) находится в 4-й четверти (\( \alpha \) ∈ (\( \frac{3\pi}{2} \); \( 2\pi \))), синус отрицателен: \[ \sin\alpha = -\sqrt{\frac{27}{32}} = -\sqrt{\frac{9 \cdot 3}{16 \cdot 2}} = -\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{3}\sqrt{2}}{4\sqrt{2}\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{6}}{8} \]
5. Найдем \( \text{tg}\alpha \) по формуле: \( \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \).
6. Подставим значения \( \sin\alpha \) и \( \cos\alpha \): \[ \text{tg}\alpha = \frac{-\frac{3\sqrt{6}}{8}}{\frac{\sqrt{10}}{8}} = -\frac{3\sqrt{6}}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{10}} \]
7. Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{10} \): \[ \text{tg}\alpha = -\frac{3\sqrt{6}\sqrt{10}}{\sqrt{10}\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{60}}{10} = -\frac{3\sqrt{4 \cdot 15}}{10} = -\frac{3 \cdot 2\sqrt{15}}{10} = -\frac{6\sqrt{15}}{10} = -\frac{3\sqrt{15}}{5} \]

Ответ: \( -\frac{3\sqrt{15}}{5} \).