Вычислите: \( 2^{\log_4 81} - 3^{\log_9 16} \)

Решение:

Рассмотрим первое слагаемое: \( 2^{\log_4 81} \).

Так как \( 4 = 2^2 \), то \( \log_4 81 = \log_{2^2} 81 = \frac{1}{2} \log_2 81 \).

Тогда \( 2^{\log_4 81} = 2^{\frac{1}{2} \log_2 81} = (2^{\log_2 81})^{\frac{1}{2}} = 81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9 \).

Рассмотрим второе слагаемое: \( 3^{\log_9 16} \).

Так как \( 9 = 3^2 \), то \( \log_9 16 = \log_{3^2} 16 = \frac{1}{2} \log_3 16 \).

Тогда \( 3^{\log_9 16} = 3^{\frac{1}{2} \log_3 16} = (3^{\log_3 16})^{\frac{1}{2}} = 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4 \).

Теперь вычтем одно из другого:

\( 9 - 4 = 5 \)

Ответ: 5.