Тема 3: « Степени и логарифмы» 1. Найдите значение выражения 357.2.7-6,254,2 54,2

1. Найдите значение выражения:

$$\frac{35^7 \cdot 2 \cdot 7^{-6} \cdot 25^{4,2}}{5^{4,2}}$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{35^7 \cdot 2 \cdot 7^{-6} \cdot (5^2)^{4,2}}{5^{4,2}} = \frac{(5 \cdot 7)^7 \cdot 2 \cdot 7^{-6} \cdot 5^{8,4}}{5^{4,2}} = \frac{5^7 \cdot 7^7 \cdot 2 \cdot 7^{-6} \cdot 5^{8,4}}{5^{4,2}} = 5^{7 + 8,4 - 4,2} \cdot 7^{7 - 6} \cdot 2 = 5^{11,2} \cdot 7 \cdot 2 = 5^{11,2} \cdot 14$$

Так как в условии задания может быть опечатка, и в знаменателе должно быть $$35^{4,2}$$, решим пример с этим условием:

$$\frac{35^7 \cdot 2 \cdot 7^{-6} \cdot 25^{4,2}}{35^{4,2}} = \frac{35^7 \cdot 2 \cdot 7^{-6} \cdot (5^2)^{4,2}}{35^{4,2}} = \frac{35^7 \cdot 2 \cdot 7^{-6} \cdot 5^{8,4}}{35^{4,2}} = \frac{(5 \cdot 7)^7 \cdot 2 \cdot 7^{-6} \cdot 5^{8,4}}{(5 \cdot 7)^{4,2}} = \frac{5^7 \cdot 7^7 \cdot 2 \cdot 7^{-6} \cdot 5^{8,4}}{5^{4,2} \cdot 7^{4,2}} = 5^{7 + 8,4 - 4,2} \cdot 7^{7 - 6 - 4,2} \cdot 2 = 5^{11,2} \cdot 7^{-3,2} \cdot 2 = \frac{5^{11,2} \cdot 2}{7^{3,2}}$$

Если в условии задания $$\frac{35^7 \cdot 2 \cdot 7^{-6} \cdot 25^{4,2}}{35^{4,2}}$$, то ответ: $$\frac{5^{11,2} \cdot 2}{7^{3,2}}$$.

Предположим, что задание выглядит так: $$\frac{35^2 \cdot 7^{-6} \cdot 25^{4}}{5^{4}}$$. Преобразуем выражение:

$$\frac{35^2 \cdot 7^{-6} \cdot 25^4}{5^4} = \frac{(5 \cdot 7)^2 \cdot 7^{-6} \cdot (5^2)^4}{5^4} = \frac{5^2 \cdot 7^2 \cdot 7^{-6} \cdot 5^8}{5^4} = 5^{2+8-4} \cdot 7^{2-6} = 5^6 \cdot 7^{-4} = \frac{5^6}{7^4} = \frac{15625}{2401}$$

Ответ: \frac{15625}{2401}