Решите систему уравнений x²+y² = 37, ху = 6.

Выразим y из второго уравнения: $$y = \frac{6}{x}$$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$x^2 + (\frac{6}{x})^2 = 37$$ $$x^2 + \frac{36}{x^2} = 37$$ $$x^4 + 36 = 37x^2$$ $$x^4 - 37x^2 + 36 = 0$$ Пусть $$z = x^2$$ $$z^2 - 37z + 36 = 0$$ $$z = \frac{37 \pm \sqrt{(-37)^2 - 4(1)(36)}}{2} = \frac{37 \pm \sqrt{1369 - 144}}{2} = \frac{37 \pm \sqrt{1225}}{2} = \frac{37 \pm 35}{2}$$ $$z_1 = \frac{37 + 35}{2} = \frac{72}{2} = 36$$ $$z_2 = \frac{37 - 35}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Теперь найдем x для каждого значения z: Если z = 36: $$x^2 = 36$$ $$x = \pm 6$$ Если z = 1: $$x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$ Теперь найдем y для каждого значения x: Если x = 6: $$y = \frac{6}{6} = 1$$ Если x = -6: $$y = \frac{6}{-6} = -1$$ Если x = 1: $$y = \frac{6}{1} = 6$$ Если x = -1: $$y = \frac{6}{-1} = -6$$ Ответ: x=6, y=1; x=-6, y=-1; x=1, y=6; x=-1, y=-6