34. На продолжениях сторон АС и ВС треугольника АВС (AB = BC) за точки А и В отметили соответственно точки Р и К так, что РК AB Докажите, что треугольник КРС — равнобедренный. 05

Дано: треугольник ABC, AB = BC, точки P и K - на продолжениях сторон AC и BC за точки A и B соответственно, PK || AB.

Доказать: треугольник KPC - равнобедренный.

Доказательство:

1) ∠PKC и ∠BAC - соответственные углы при параллельных прямых PK и AB и секущей KC, следовательно, ∠PKC = ∠BAC.

2) ∠KPC и ∠ABC - соответственные углы при параллельных прямых PK и AB и секущей AP, следовательно, ∠KPC = ∠ABC.

3) Поскольку AB = BC, то углы при основании AC треугольника ABC равны: ∠BAC = ∠BCA.

4) Следовательно, ∠PKC = ∠BCA.

5) Углы ∠BCA и ∠KCP - смежные, в сумме дают 180°. Следовательно, ∠KCP = 180° - ∠BCA.

6) Углы ∠PKC и ∠BKC - смежные, в сумме дают 180°. Следовательно, ∠BKC = 180° - ∠PKC.

7) Так как ∠PKC = ∠BCA, то ∠BKC = ∠KCP.

8) Следовательно, треугольник KPC - равнобедренный, так как углы при основании KC равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник KPC — равнобедренный.