6) $$log_{3}x + log_{x}\frac{1}{9} = 1$$

Для решения логарифмического уравнения $$log_{3}x + log_{x}\frac{1}{9} = 1$$ преобразуем второе слагаемое:

$$log_{3}x + log_{x}3^{-2} = 1$$

$$log_{3}x - 2log_{x}3 = 1$$

$$log_{3}x - \frac{2}{log_{3}x} = 1$$

Введем замену переменной:

$$t = log_{3}x$$

Тогда уравнение примет вид:

$$t - \frac{2}{t} = 1$$

$$t^2 - 2 = t$$

$$t^2 - t - 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

$$t_{1} = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$t_{2} = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Вернемся к замене переменной:

$$log_{3}x = 2$$

$$x = 3^2 = 9$$

$$log_{3}x = -1$$

$$x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$$

Проверим, входят ли найденные значения в область определения логарифма:

$$x > 0$$

Если x=9: $$9 > 0$$ - выполняется.

Если x=\frac{1}{3}: $$\frac{1}{3} > 0$$ - выполняется.

$$x
eq 1$$

Если x=9: $$9
eq 1$$ - выполняется.

Если x=\frac{1}{3}: $$\frac{1}{3}
eq 1$$ - выполняется.

Значит, оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $$x_{1} = 9, x_{2} = \frac{1}{3}$$