11) $$log_{7}\frac{x+3}{3x-1} =log_{\frac{1}{7}}\frac{1}{2}$$

Для решения логарифмического уравнения $$log_{7}\frac{x+3}{3x-1} =log_{\frac{1}{7}}\frac{1}{2}$$ преобразуем правую часть:

$$log_{7}\frac{x+3}{3x-1} =log_{7^{-1}}\frac{1}{2}$$

$$log_{7}\frac{x+3}{3x-1} = -log_{7}\frac{1}{2}$$

$$log_{7}\frac{x+3}{3x-1} = log_{7}(\frac{1}{2})^{-1}$$

$$log_{7}\frac{x+3}{3x-1} = log_{7}2$$

$$\frac{x+3}{3x-1} = 2$$

$$x+3 = 2(3x-1)$$

$$x+3 = 6x-2$$

$$5x = 5$$

$$x = 1$$

Проверим, входит ли найденное значение в область определения логарифма:

$$\frac{x+3}{3x-1} > 0$$

$$\frac{1+3}{3 \cdot 1 - 1} > 0$$

$$\frac{4}{2} > 0$$

$$2 > 0$$

Неравенство выполняется.

$$3x - 1
eq 0$$

$$3 \cdot 1 - 1
eq 0$$

$$2
eq 0$$

Значит, x=1 является решением уравнения.

Ответ: $$x=1$$