9. Вычислить интеграл ∫₀² (25x⁴ + 16x³ - 3x²) dx.

Решение:

1. Найдем первообразную для подынтегральной функции \( 25x^4 + 16x^3 - 3x^2 \).
2. Используем правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).
3. Первообразная \( F(x) = \int (25x^4 + 16x^3 - 3x^2) dx = 25 \frac{x^5}{5} + 16 \frac{x^4}{4} - 3 \frac{x^3}{3} + C = 5x^5 + 4x^4 - x^3 + C \).
4. Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).
5. \( \int_0^2 (25x^4 + 16x^3 - 3x^2) dx = [5x^5 + 4x^4 - x^3]_0^2 \).
6. Подставим верхний предел интегрирования (2): \( F(2) = 5(2)^5 + 4(2)^4 - (2)^3 = 5(32) + 4(16) - 8 = 160 + 64 - 8 = 216 \).
7. Подставим нижний предел интегрирования (0): \( F(0) = 5(0)^5 + 4(0)^4 - (0)^3 = 0 + 0 - 0 = 0 \).
8. Вычислим разность: \( F(2) - F(0) = 216 - 0 = 216 \).

Ответ: 216.