9. Вычислить интеграл \(∫_0^2 (25x^4 + 16x^3 - 3x^2)dx\).

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{0}^{2} (25x^4 + 16x^3 - 3x^2)dx \) найдём первообразную подынтегральной функции и вычислим её значение на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

1. Найдём первообразную функции \( 25x^4 + 16x^3 - 3x^2 \): \( F(x) = \frac{25x^{4+1}}{4+1} + \frac{16x^{3+1}}{3+1} - \frac{3x^{2+1}}{2+1} + C \)
2. \( F(x) = \frac{25x^5}{5} + \frac{16x^4}{4} - \frac{3x^3}{3} + C \)
3. \( F(x) = 5x^5 + 4x^4 - x^3 + C \)
4. Теперь вычислим значение первообразной на пределах интегрирования от 0 до 2: \( \int_{0}^{2} (25x^4 + 16x^3 - 3x^2)dx = [5x^5 + 4x^4 - x^3]_{0}^{2} \)
5. \( = (5 \cdot 2^5 + 4 \cdot 2^4 - 2^3) - (5 \cdot 0^5 + 4 \cdot 0^4 - 0^3) \)
6. \( = (5 \cdot 32 + 4 \cdot 16 - 8) - (0) \)
7. \( = (160 + 64 - 8) \)
8. \( = 224 - 8 \)
9. \( = 216 \)

Ответ: 216.