3. Решить неравенство (1/4)^log_{1/8}(x+2) ≥ 2.

Решение:

Для решения неравенства \( \left(\frac{1}{4}\right)^{\log_{1/8}(x+2)} \ge 2 \) выполним следующие шаги:

1. Перепишем основание степени \( \frac{1}{4} \) как \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 \) и число 2 как \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \). Неравенство примет вид: \( \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^{\log_{1/8}(x+2)} \ge \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \)
2. \( \left(\frac{1}{2}\right)^{2 \log_{1/8}(x+2)} \ge \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \)
3. Так как основание степени \( \frac{1}{2} < 1 \), при потенцировании (снятии степени) знак неравенства меняется на противоположный: \( 2 \log_{1/8}(x+2) \le -1 \)
4. \( \log_{1/8}(x+2) \le -\frac{1}{2} \)
5. Перепишем число -1/2 в виде логарифма по основанию 1/8: \( -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \log_{1/8}(1/8) \). Это неверно.
6. Правильно: \( -\frac{1}{2} \) - это показатель степени.
7. Преобразуем неравенство: \( \log_{1/8}(x+2) \le -\frac{1}{2} \)
8. Так как основание логарифма \( \frac{1}{8} < 1 \), при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный: \( x+2 \ge \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{1}{2}} \)
9. \( \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(8^{-1}\right)^{-\frac{1}{2}} = 8^{\frac{1}{2}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
10. \( x+2 \ge 2\sqrt{2} \)
11. \( x \ge 2\sqrt{2} - 2 \)
12. Учтём область определения логарифма: \( x+2 > 0 \) → \( x > -2 \).
13. Так как \( 2\sqrt{2} - 2 \approx 2 · 1.414 - 2 = 2.828 - 2 = 0.828 \), то \( x \ge 2\sqrt{2} - 2 \) удовлетворяет условию \( x > -2 \).

Ответ: x \(\in\) [\( 2\sqrt{2} - 2 \); +\(\infty\)).