9. sin x = -1

Решение:

Данное уравнение относится к простейшим тригонометрическим уравнениям вида \( \sin x = a \).

Общее решение для уравнений такого типа: \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

В данном случае \( a = -1 \). Значение \( \arcsin (-1) \) равно \( -\frac{\pi}{2} \).

Подставляем значение в формулу:

\[ x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Это решение можно упростить:

При \( n \) — чётном (\( n = 2k \)): \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \).

При \( n \) — нечётном (\( n = 2k+1 \)): \( x = -1 \cdot (-\frac{\pi}{2}) + \pi(2k+1) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k + \pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \).

Оба случая описываются одним значением \( \frac{3\pi}{2} \) (или \( -\frac{\pi}{2} \)) с периодом \( 2\pi \).

Ответ: \( x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \) (или \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)).