5. tg x = -1

Решение:

Данное уравнение относится к простейшим тригонометрическим уравнениям вида \( \operatorname{tg} x = a \).

Общее решение для уравнений такого типа: \( x = \operatorname{arctg} a + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

В данном случае \( a = -1 \). Значение \( \operatorname{arctg} (-1) \) равно \( -\frac{\pi}{4} \).

Подставляем значение в формулу:

\[ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).