9. Решите неравенство (методом интервалов) \(\frac{(x-5)(3x+4)}{x+8} \ge 0\)

Решение:

Найдем корни числителя и знаменателя:

• \( x-5=0 \implies x=5 \)
• \( 3x+4=0 \implies x = -\frac{4}{3} \)
• \( x+8=0 \implies x=-8 \)

Отметим эти точки на числовой прямой. Точка \( x=-8 \) — выколотая, так как знаменатель не может быть равен нулю. Точки \( x = -\frac{4}{3} \) и \( x=5 \) — закрашенные, так как неравенство нестрогое.

Расставим знаки на интервалах:

• При \( x > 5 \) (например, \( x=6 \)): \( \frac{(+)(+)}{(+)} = + \)
• При \( -\frac{4}{3} < x < 5 \) (например, \( x=0 \)): \( \frac{(-)(+)}{(+)} = - \)
• При \( -8 < x < -\frac{4}{3} \) (например, \( x=-2 \)): \( \frac{(-)(-)}{(+)} = + \)
• При \( x < -8 \) (например, \( x=-9 \)): \( \frac{(-)(-)}{(-)} = - \)

Нам нужны интервалы, где выражение \(\ge 0 \).

Решение: \( [-8; -\frac{4}{3}] \cup [5; \infty) \). Однако, \( x=-8 \) не входит в область определения.

Ответ: \( (-8; -\frac{4}{3}] \cup [5; \infty) \).