2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x³, y = 0, x = 4

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью \( Ox \) и прямыми \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется по формуле \( S = \int_a^b |f(x)| dx \).

В данном случае \( f(x) = x^3 \), \( a = 0 \) (так как \( y=0 \) — это ось \( Ox \), и \( x^3=0 \) при \( x=0 \)), \( b = 4 \).

На интервале \( [0, 4] \) функция \( x^3 \) неотрицательна, поэтому \( |x^3| = x^3 \).

\( S = \int_0^4 x^3 dx \).

Вычисляем интеграл:

\( S = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^4 = \frac{4^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{256}{4} - 0 = 64 \).

Ответ: Площадь фигуры равна 64.