3. Найдите экстремумы функции y = x² - 8x²

Решение:

Сначала упростим функцию:

\( y = x^2 - 8x^2 = -7x^2 \).

Чтобы найти экстремумы, найдем производную функции и приравняем её к нулю:

\( y' = (-7x^2)' = -14x \).

Приравниваем производную к нулю:

\( -14x = 0 \).

\( x = 0 \).

Теперь определим, является ли эта точка точкой экстремума. Для этого найдем вторую производную:

\( y'' = (-14x)' = -14 \).

При \( x = 0 \), \( y'' = -14 \).

Так как \( y'' < 0 \), то в точке \( x = 0 \) функция имеет максимум.

Найдем значение функции в этой точке:

\( y(0) = -7 \cdot 0^2 = 0 \).

Ответ: Функция имеет максимум в точке \( x = 0 \), значение максимума равно 0.