9. Решите неравенство (методом интервалов) \( \frac{(2x-5)(4+x)}{x-6} \le 0 \)

Решение:

Для решения неравенства методом интервалов найдем корни числителя и знаменателя:

1. Корни числителя:
• \( 2x-5 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = \frac{5}{2} = 2.5 \)
• \( 4+x = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = -4 \)
2. Корень знаменателя:
• \( x-6 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = 6 \)

Отметим эти точки на числовой оси: \( -4, 2.5, 6 \). Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: \( (-\infty, -4], [-4, 2.5], [2.5, 6), (6, \infty) \). Заметим, что \( x = 6 \) не входит в область допустимых значений, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Определим знак выражения \( \frac{(2x-5)(4+x)}{x-6} \) на каждом интервале:

• Интервал \( (-\infty, -4) \): Возьмем \( x = -5 \). \( \frac{(2(-5)-5)(4-5)}{-5-6} = \frac{(-15)(-1)}{-11} = \frac{15}{-11} < 0 \).
• Интервал \( (-4, 2.5) \): Возьмем \( x = 0 \). \( \frac{(2(0)-5)(4+0)}{0-6} = \frac{(-5)(4)}{-6} = \frac{-20}{-6} = \frac{10}{3} > 0 \).
• Интервал \( (2.5, 6) \): Возьмем \( x = 3 \). \( \frac{(2(3)-5)(4+3)}{3-6} = \frac{(1)(7)}{-3} = -\frac{7}{3} < 0 \).
• Интервал \( (6, \infty) \): Возьмем \( x = 7 \). \( \frac{(2(7)-5)(4+7)}{7-6} = \frac{(9)(11)}{1} = 99 > 0 \).

Нам нужно, чтобы выражение было \( \le 0 \). Это соответствует интервалам \( (-\infty, -4] \) и \( [2.5, 6) \).

Ответ: \( (-\infty, -4] \cup [2.5, 6) \)