8. Найдите все первообразные для функции f(x) = 5x-1

Решение:

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) \), нужно проинтегрировать её:

\( F(x) = \int (5x-1) dx \)

Используем правила интегрирования:

• \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)
• \( \int c \cdot f(x) dx = c \int f(x) dx \)
• \( \int (f(x) - g(x)) dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx \)

Применим эти правила:

\( F(x) = \int 5x dx - \int 1 dx \)

\( F(x) = 5 \int x^1 dx - \int x^0 dx \)

\( F(x) = 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - \frac{x^{0+1}}{0+1} + C \)

\( F(x) = 5 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C \)

\( F(x) = \frac{5}{2} x^2 - x + C \), где \( C \) — произвольная постоянная.

Ответ: \( F(x) = \frac{5}{2} x^2 - x + C \)