5. Решите неравенство log₀,₂(2x-4) ≤ log₀,₂(x+1)

Решение:

Для решения логарифмического неравенства необходимо учесть два условия:

1. ОДЗ (Область допустимых значений): Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.
• \( 2x-4 > 0 \) \( \Rightarrow \) \( 2x > 4 \) \( \Rightarrow \) \( x > 2 \)
• \( x+1 > 0 \) \( \Rightarrow \) \( x > -1 \)

Объединяя оба условия, получаем \( x > 2 \).

2. Решение самого неравенства:

Так как основание логарифма \( 0.2 \) меньше 1 (\( 0 < 0.2 < 1 \)), при снятии логарифмов знак неравенства меняется на противоположный:

\( 2x-4 \ge x+1 \)

Решим это линейное неравенство:

\( 2x - x \ge 1 + 4 \)

\( x \ge 5 \)

3. Пересечение ОДЗ и решения неравенства:

У нас есть два условия: \( x > 2 \) и \( x \ge 5 \).

Пересечением этих условий является \( x \ge 5 \).

Ответ: \( [5; \infty) \)