3. Найдите экстремумы функции f(x) = -x³ + 3x²

Решение:

Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти её производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. Затем определить знаки производной на интервалах.

1. Найдём производную функции:

\( f'(x) = ( -x^3 + 3x^2 )' = -3x^2 + 6x \).

2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки:

\( -3x^2 + 6x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( -3x \):

\( -3x(x - 2) = 0 \)

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

3. Определим знаки производной на интервалах:

Интервалы: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \), \( (2, \infty) \).

• На интервале \( (-\infty, 0) \), возьмём \( x = -1 \). \( f'(-1) = -3(-1)^2 + 6(-1) = -3 - 6 = -9 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (0, 2) \), возьмём \( x = 1 \). \( f'(1) = -3(1)^2 + 6(1) = -3 + 6 = 3 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (2, \infty) \), возьмём \( x = 3 \). \( f'(3) = -3(3)^2 + 6(3) = -27 + 18 = -9 < 0 \). Функция убывает.
4. Определим тип экстремума:
• В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с минуса на плюс. Это точка минимума.
• В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с плюса на минус. Это точка максимума.
5. Найдем значения функции в точках экстремума:
• Минимум: \( f(0) = -(0)^3 + 3(0)^2 = 0 \).
• Максимум: \( f(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 = -8 + 12 = 4 \).

Ответ: Точка минимума: \( (0, 0) \). Точка максимума: \( (2, 4) \).